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Basics: QC 101 [Parte I]

Bueno, hoy les voy a hablar un poco de las bases necesarias si quieren meterse a estudiar un poco más a fondo QC. Voy a tratar de no volverme tan metódico en los post, en los siguientes quiero mostrarles un par de curiosidades en QC; de modo que para que me entiendan vamos a necesitar saber como funciona lo básico. Así que empecemos.

Primero vamos a empezar recordando y/o conociendo ciertos conceptos necesarios para entender más facilmente los conceptos subsecuentes.

Numeros complejos

Un número complejo es una pareja ordenada (a,b) de modo que a es la parte real y b es la parte imaginaria, tambien podemos expresarlo como (a,b) = a + bi donde i = \sqrt{-1} . Supongamos que tenemos dos complejos z_1 = (a_1,b_1)\ y\ z_2 = (a_2,b_2) , definimos la suma como z_1+z_2=(a_1+a_2,b_1+b_2) y la multiplicación como z_1 z_2 = a_1 a_2 - b_1 b_2, a_1 b_2 + a_2 b_1).

Otra operación que a veces necesitamos hacer sobre los complejos es cambiar el signo de la parte imaginaria, a esta operación se denota con * y el complejo resultante es llamado el conjugado. Por ejemplo, z=(a,b), z^*=(a,-b). También es útil obtener la norma del complejo; la norma de z=(a,b) es el número real definido por \sqrt{a^2 + b^2} y se denota por | z | .

Matrices

Decimos que una matriz n x m tiene n filas y m columnas. Y la representamos como

M = \begin{pmatrix} a_{11 } & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}

Podemos hacer referencia a cada valor de la matriz, así M_{11} = a_{11}. Llamaremos matriz fila a la matriz cuando m = 1 y matriz columna a la matriz cuando n = 1, y vector a una matrix tanto fila como columna. Una operación importante con las matrices es la transposición; esto es cuando cambiamos las filas por las columnas y se denota por M^t , por ejemplo M_{ij}^t = M_{ji} .

La suma y multiplicación de matrices esta definida de la siguiente manera, sean

A = \begin{pmatrix} a_{11 } & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \ y\ B = \begin{pmatrix} b_{11 } & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}

A + B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{pmatrix}

AB = \begin{pmatrix} a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} \\ a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} \end{pmatrix}

Matrices complejas

Una matriz compleja es igual que una matriz de las anteriores, con la diferencia que cada uno de sus elementos son complejos. Una operación que se realiza con éstas matrices es la transposición y luego conjugación de sus elementos, a la matriz resultante se le llama adjunta, se denota por A^\dagger y se define como A^\dagger_{ij} = A^*_{ji}.

En las matrices complejas definimos la matriz identidad de n x n y se denota como I_n , como la matriz que tiene en sus coordenadas i = j al uno complejo (1,0) y en el resto de posiciones al (0,0). Y se cumple la propiedad M^\dagger M = I_n , donde M es una matriz compleja de m x n. También se cumple que si A y B son matrices complejas entonces (AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger .

Notación de Dirac

Dirac creo una notación especial para manejar los vectores. Llamaremos ket a un vector (matriz columna) que tenga la forma

| \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0 \\ \vdots \\ \alpha_N \end{pmatrix}

y bra al vector (matriz fila) de la forma

\langle \psi | = ( \alpha_0^* , \dots , \alpha_N^* )

donde \alpha_i^* es el conjugado de \alpha_i .

Los ket son lineales respecto a la suma y la multiplicación:

| \lambda_1 \psi_1  + \lambda_2 \psi_2 \rangle = \lambda_1 | \psi_1 \rangle + \lambda_2 | \psi_2 \rangle

Espacio de Hilbert

Para nuestros fines diremos que el espacio de Hilbert no es más que un conjunto de vectores que cumplen con varias propiedades, dichos vectores poseen elementos complejos y nos permiten sumarlos y multiplicarlos tanto entre ellos como con escalares complejos. Podemos decir que el espacio de Hilbert \mathbf{H} = \mathbb{C}^2 .

Producto Tensorial

Tenemos dos matrices P y Q, de orden n x m y k x l, respectivamente (como vemos no necesariamente tienen que tener la misma dimensión como cuando trabajamos producto entre matrices). Definimos el producto tensorial entre P y Q como

P \otimes Q = \begin{pmatrix} p_{11} Q & \dots & p_{1m} Q \\ \vdots & & \vdots \\ p_{n1} Q & \dots & p_{nm} Q \end{pmatrix}

Como vemos, el producto tensorial lo que hace es tomar cada uno de los elementos de P y los multiplica por la matriz Q, entonces tendremos una matriz resultante de nk x ml elementos.

Si tenemos las matrices u, v y z complejo las propiedades siguientes se cumplen:

  • (zu) \otimes v = z ( u \otimes v)
  • u \otimes (zv) = z ( u \otimes v)
  • (u_1 + u_2) \otimes v = (u_1 \otimes v) + (u_2 \otimes v)
  • u \otimes (v_1 + v_2) = (u \otimes v_1) + (u \otimes v_2)

Bits cuánticos

Como ya hemos visto en los posts anteriores la unidad básica en QC es el bit cuántico (qubit, abreviando). Este es la unidad básica, como en la computación clásica tenemos 0 y 1, en QC tenemos los qubits básicos | 0 \rangle y | 1 \rangle que son análogos a sus partes clásicas.

Matemáticamente un qubit no es más que un vector que se encuentra definido en el espacio de Hilbert. Lo podemos escribir como | \psi \rangle = \alpha | 0 \rangle + \beta | 1 \rangle , donde \alpha y \beta son complejos y cumplen con la propiedad | \alpha | ^2 + | \beta | ^2 = 1 . El qubit | psi \rangle decimos que esta en una superposición de los estados básicos | 0 \rangle \text{y} | 1 \rangle con una probabilidad | \alpha | ^2 de que sea | 0 \rangle y una probabilidad | \beta | ^2 de que sesa | 1 \rangle ; estas probabilidades son las que usamos al momento de medir el qubit. De modo que cuando medimos u observamos al qubit colapsamos su función de onda y deja de estar en una superposición de estados y se vuelve un valor puntual, con este proceso se pierde el resto de la información que contenian los otros estados posibles. Este procedimiento no es reversible.

Podemos tener registros de qubits, esto lo hacemos multiplicando a través del producto tensorial los qubits del registro. Por ejemplo podemos tener un registro de dos qubits | 0 \rangle \otimes | 0 \rangle = | 0 0 \rangle . Este registro estaría definido en un espacio \mathbf{H}^{\otimes 2} = \mathbb{C} ^4 .

  1. ruben
    October 26, 2008 at 12:24 pm

    esta muy bacano. pero sigue escribiendo otros post para aprender mas

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